Số gần đúng sai số

I. SỐ GẦN ĐÚNG

Ví dụ 1. Khi tính diện tích của hình tròn bán kính r = 2 cm theo công thức S = π.r².

Nam lấy một giá trị gần đúng của π là 3,1

và được kết quả S = 3,1.4 = 12,4 cm²

Minh lấy một giá trị gần đúng của π là 3,14

và được kết quả S = 3,14.4 = 12,56 cm²

Vì π = 3,14592653… là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần đúng kết quả phép tính π.r² bằng một số thập phân hữu hạn.

II. QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG

1. Ôn tập quy tắc làm tròn số

Trong sách giáo khoa Toán 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số 0.

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

Chẳng hạn

Số quy tròn đến hàng nghìn của x = 2 841 675 là x ≈ 2 842 000 của y = 432 415 là y ≈ 432 000

Số quy tròn đến hàng trăm của x = 12,4253 là x ≈ 12,43, của y = 4,1521 là y ≈ 4,15 .

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước

Ví dụ 2. Cho số gần đúng a = 2 841 275 có độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a.

Giải.

Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên.

Vậy số quy tròn của a là 2 841 000.

Ví dụ 3. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết:  = 3,1463 ± 0,001

Giải.

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15.

Nguồn : Số gần đúng sai số

Bất đẳng thức

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “a > b” hoặc “a > b” được gọi là bất đẳng thức.

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “a > b => c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a > b và cũng viết là a > b => c > d.

Nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a > b <=> c > d.

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a – b > 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

Chú ý

Ta còn gặp các mệnh đề dạng a ≤ b hoặc a ≥ b. Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a < b hoặc a > b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.

II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định lí

Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

Đẳng thức  xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.

a +  ≥ 2, ∀a > 0.

Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y.

Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y.

III. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nguồn : Bất đẳng thức

Ôn tập chương III – Phương trình. Hệ phương trình

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x_o sao cho f(x_o) = g(x_o) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3x + 2y = x² – 2xy + 8, (2)

4x² – xy + 2z = 3z² + 2xz + y² ( 3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (–1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f₁(x) = g₁(x) thì phương trình f₁(x) = g₁(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x).

Ta viết

f(x) = g(x) => f₁(x) = g₁(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , ycó dạng tổng quát là

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x_o; y_o) đều là nghiệm.

b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

Cặp số (x_o; y_o) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x_o; y_o) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x_o; y_o) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d,

trong đó x, y, z là ba ẩn a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

Nguồn : Ôn tập chương III – Phương trình. Hệ phương trình

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x , y có dạng tổng quát là

ax + by = c (1)

trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

CHÚ Ý

a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x_o; y_o) đều là nghiệm.

b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành

Cặp số (x_o; y_o) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểmM(x_o; y_o) thuộc đường thẳng (2).

Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.

Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3).

Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.

II. HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

ax + by + cz = d,

trong đó x, y, z là ba ẩn a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.

Mỗi bộ ba số (x_o; y_o; z_o) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4).

Nguồn : Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ thì

x₁ + x₂ = - , x₁x₂ = .

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình

x² – Sx + P = 0.

II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.

Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1. Giải phương trình |x – 3| = 2x + 1. (3)

Giải

Cách 1

a) Nếu x ≥ 3 thì phương trình (3) trở thành x – 3 = 2x + 1. Từ đó x = –4.

Giá trị x = –4 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 3 nên bị loại.

b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành –x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = .

Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = 

Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

(3) => (x – 3)² = (2x + 1)²

=> x² – 6x + 9 = 4x² + 4x + 1

=> 3x² + 10x – 8 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = –4 và x = 

Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = 

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

Ví dụ 2. Giải phương trình  = x – 2 (4).

Giải.

Điều kiện của phương trình (4) là x ≥ 

Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4) => 2x – 3 = x² – 4x + 4

=> x² – 6x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + √2 và x = 3 – √2 . Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3 – √2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x= 3 + √2 là nghiệm (hai vế cùng bằng √2 + 1).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x= 3 + √2 .

Nguồn : Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Đại cương về phương trình

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f(x) = g(x) (1)

trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f(x_o) = g(x_o) là mệnh đề đúng thì x_o được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình).

3. Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn

3x + 2y = x² – 2xy + 8, (2)

4x² – xy + 2z = 3z² + 2xz + y² ( 3)

Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z).

Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) là một nghiệm của phương trình (2).

Tương tự, bộ ba số (x; y; z) = (–1; 1; 2) là một nghiệm của phương trình (3).

4. Phương trình chứa tham số

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

II. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f₁(x) = g₁(x) thì phương trình f1(x) = g₁(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

Ta viết

f(x) = g(x) => f₁(x) = g₁(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

Nguồn : Đại cương về phương trình

Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức

y = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Tập xác định của hàm số này là D = R

Hàm số y = ax² (a ≠ 0) đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.

I. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một đường parabol có đỉnh là điểm I, có trục đối xứng là đường thẳng x = -. Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0.

Cách vẽ

Để vẽ parabol y = ax² + bx + c (a≠0) ta thực hiện các bước

1) Xác định tọa độ của đỉnh I

2) Vẽ trục đối xứng x = - .

3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0; c)) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0; c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

4) Vẽ parabol.

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới).

II. CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

Dựa vào đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (a≠0) ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau

 

Từ đó, ta có định lí dưới đây

Định lí

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax² + bx + c nghịch biến trên khoảng (–∞; -); đồng biến trên khoảng (-; +∞).

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax² + bx + c đồng biến trên khoảng (–∞; -) nghịch biến trên khoảng (-; +∞).

 

 

Nguồn : Hàm số bậc hai

Hàm số y=ax+b

I. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

y = ax + b (a ≠ 0)

Tập xác định D = R

Chiều biến thiên

Với a > 0 hàm số đồng biến trên

Với a < 0 hàm số nghịch biến trên

Bảng biến thiên

Đồ thị

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song và cũng không trùng với các trục tọa độ. Đường thẳng này luôn song song với đường thẳng y = ax (nếu b ≠ 0) (nếu b ≠ 0) và đi qua hai điểm

A(0 ; b), B(  ; 0)

II. HÀM SỐ HẰNG y = b

Đồ thị hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b.

III. HÀM SỐ y = |x|

Hàm số y = |x| có liên quan chặt chẽ với hàm bậc nhất.

1. Tập xác định

Hàm số y = |x| xác định với mọi giá trị của x ∈ R tức là tập xác định y = |x|.

2. Chiều biến thiên

Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có y = |x| = 

Từ đó suy ra hàm số y = |x| nghịch biến trên khoảng ( –∞ ; 0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞).

Bảng biến thiên

Khi x > 0 và dần tới +∞ thì y = x dần tới +∞, khi x < 0 dần tới –∞ thì y = –x cũng dần tới +∞. Ta có bảng biến thiên sau

3. Đồ thị

Trong nửa khoảng [0; +∞) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = x.

Trong khoảng (–∞; 0) đồ thị của hàm số y = |x| trùng với đồ thị của hàm số y = –x

CHÚ Ý

Hàm số y = |x| là một hàm số chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

Nguồn : Hàm số y=ax+b

Hàm số

I. ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ

1. Hàm số. Tập xác định của hàm số

Giả sử có hai đại lượng biếnthiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số D.

Nếu với mỗi giá trị của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của x thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.

Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số.

2. Cách cho hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau.

Hàm số cho bằng bảng

Hàm số cho bằng biểu đồ

Hàm số cho bằng công thức

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa.

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x,f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với x thuộc D.

II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1. Ôn tập

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng (a ; b) nếu

∀x₁, x₂ ∈ (a ; b) : x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu :

∀x₁, x₂ ∈ (a ; b) : x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)

2. Bảng biến thiên

Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên.

Ví dụ. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = x².

Hàm số y = x² xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) ( –∞ ; +∞) và khi x dần tới +∞ hoặc dần tới –∞ thì y đều dần tới +∞.

Tại x = 0 thì y = 0.

Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞ ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống (từ +∞ đến 0).

Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) ta vẽ mũi tên đi lên (từ 0 đến +∞).

Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số (đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).

III. TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu

∀x ∈ D thì – x ∈ D và f( –x) = f(x)

Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu

∀x ∈ D thì – x ∈ D và f(–x) = – f(x)

2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nguồn : Hàm số

Tổng hợp chương Mệnh đề, Tập hợp

MỆNH ĐỀ

1. MỆNH ĐỀ

Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai.

Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

2. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

Kí hiệu mệnh phủ định của mệnh đề P là  ta có

 đúng khi P sai.

 sai khi P đúng.

3. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P => Q.

Mệnh đề P => Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

Mệnh đề P => Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ xét tính đúng sai của mệnh đề P => Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P => Q đúng, nếu Q sai thì P => Q sai.

Các định lí, toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P => Q.

Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q hoặc Q là điều kiện cần để có P.

4. MỆNH ĐỀ ĐẢO – HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

Mệnh đề Q => P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P => Q và Q => P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta có kí hiệu P <=> Q và đọc là tương đương, hoặc là điều kiện cần và , hoặc khi và chỉ khi.

5. KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

Kí hiệu ∀ đọc là với mọi.

Kí hiệu ∃ đọc là có một (tồn tại một) hay có ít nhất một(tồn tại ít nhất một).

Phủ định của mệnh đề “ ” là mệnh đề “”

Phủ định của mệnh đề “ ” là mệnh đề “”

TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP

1. Tập hợp

•Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.

•Cách xác định tập hợp:

+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.

+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.

•Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu ∅.

2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau

• A B <=> (∀x ∈ A => x ∈ B)

Các tính chất:

+ A ⊂ A, ∀A + ∅ A, ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C => A ⊂ C

• A = B <=> (A ⊂ B và B ⊂ A) <=> (∀x; x ∈ A <=> x ∈ B)

3. Một số tập con của tập hợp số thực

Khoảng

(a; b) = {x ∈R| a < x < b}

(a; +∞) = {x ∈R| a < x}

(–∞; b) = {x ∈R| x < b}

Đoạn

[a; b] = {x ∈R| a ≤ x ≤ b}

Nửa khoảng

[a; b) = {x ∈R| a ≤ x < b}

(a; b] = {x ∈R| a < x ≤ b}

[a; +∞) = {x ∈R| a ≤ x}

(–∞; b] = {x ∈R| x ≤ b}

4. Các phép toán tập hợp

• Giao của hai tập hợp: A ∩ B <=> {x| x ∈ A; x ∈ B}

• Hợp của hai tập hợp: A ∪ B <=> {x| x ∈ A hoặc x ∈ B}

• Hiệu của hai tập hợp: A \ B <=> {x| x ∈ A và x ∈ B}

Phần bù: Cho B A thì C_AB = A \ B.

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1. Ôn tập quy tắc làm tròn số

Trong sách giáo khoa Toán 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau

Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bởi chữ số

Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số hàng quy tròn.

2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước

Ví dụ 2. Cho số gần đúng a = 2 841 275 có độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a.

Giải.

Vì độ chính xác đến hàng trăm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên.

Vậy số quy tròn của a là 2 841 000.

Ví dụ 3. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết:  = 3,1463 ± 0,001

Giải.

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15.

 

Nguồn : Tổng hợp chương Mệnh đề, Tập hợp

Các tập hợp số

I. CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC

1. Tập hợp các số tự nhiên N

N = {0,1,2,3…} ;

N* = {1,2,3,…}.

2. Tập hợp các số nguyên Z

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,…}.

Các số –1, –2, –3,… là các số nguyên âm.

Vậy Z gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm.

3. Tập hợp các số hữu tỉ Q

Số hữu tỉ biểu diễn được dưới dạng một phân số  trong đó a, b ∈ Z , b ≠ 0.

Hai phân số  biểu diễn cùng một số hữu tỉ khi và chỉ khi ad = bc

Số hữu tỉ còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

4. Tập hợp các số thực R

Tập hợp các số thực gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.

Tập hợp các số thực gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.

II. CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R

Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực R

Khoảng

(a; b) = {x ∈ R| a < x < b}

(a; +∞) = {x ∈ R| a < x}

(–∞; b) = {x ∈ R| x < b}

Đoạn

[a; b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}

Nửa khoảng

[a; b) = {x ∈ R| a ≤ x < b}

(a; b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}

[a; +∞) = {x ∈ R| a ≤ x}

(–∞; b] = {x ∈ R| x ≤ b}

Nguồn : Các tập hợp số